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### 问题描述
我们被要求解一个关于矩阵 ( A ) 的问题，其中 ( A ) 是一个 ( 4 imes 4 ) 的对称矩阵，定义如下：
[ A = egin{pmatrix} 4 & -1 & -1 & -1 \ -1 & 4 & -1 & -1 \ -1 & -1 & 4 & -1 \ -1 & -1 & -1 & square end{pmatrix} ]
我们的任务是找到矩阵中未知的项“(square)”，使得该矩阵的行列式为零。
### 思考过程
#### 1. 理解问题
首先，我需要理解题目要求。题目给出一个对称矩阵 ( A )，但它有一个未知项“(square)”。我们的任务是找出这个未知项，使得 ( A ) 的行列式等于零。换句话说，我需要找到“(square)”使得 ( A ) 是一个不可逆矩阵。
#### 2. 求解行列式
要找到“(square)”，我需要求出 ( A ) 的行列式并将其设为零，然后求解“(square)”的值。由于 ( A ) 是一个 ( 4 imes 4 ) 矩阵，计算行列式会比较复杂。我需要想办法找到简化求解的方法。
#### 3. 寻找简化方法
观察矩阵 ( A )，我发现每一行和每一列都包含三个 (-1) 和一个 ( 4 )。这意味着矩阵 ( A ) 是高度对称的。这种对称性可能有助于简化行列式的计算。此外，矩阵 ( A ) 是一个非常好的例子，可以通过计算特征值来求解行列式。
#### 4. 计算特征值
为了计算行列式，我决定计算矩阵 ( A ) 的特征值。由于 ( A ) 是一个对称矩阵，它的特征值都是实数。行列值是矩阵所有特征值的乘积，因此如果行列式为零，那就是一个特征值为零。
#### 5. 设定特征值
令 ( lambda ) 是一个特征值，然后计算 ( A - lambda I ) 的行列式为零。这将给我一个关于 ( lambda ) 的方程。由于行列式为零，意味着至少有一个特征值是零。因此，我需要找到一个特征值等于零的情况。
#### 6. 求解方程
通过求解特征值，我可以求解 ( A ) 的特征值。然后将它们相乘，得到一个关于 (square) 的方程。由于行列式为零，这等于所有特征值中至少一个为零。因此，我需要找到 (square) 使得至少一个特征值等于零。
#### 7. 最终求解
通过求解这个方程，我可以找到 (square) 的值。这个过程将涉及到矩阵计算和求解方程，可能需要一些代数技巧。
### 详细计算过程
#### 1. 设定特征值
令 ( lambda ) 是一个特征值，然后计算 ( A - lambda I ) 的行列式：
[ det(A - lambda I) = 0 ]
#### 2. 计算矩阵
[ A - lambda I = egin{pmatrix} 4 - lambda & -1 & -1 & -1 \ -1 & 4 - lambda & -1 & -1 \ -1 & -1 & 4 - lambda & -1 \ -1 & -1 & -1 & square - lambda end{pmatrix} ]
#### 3. 计算行列式
由于每一行和每一列都是对称的，我可以使用行列式公式来计算行列式：
[ det(A - lambda I) = (4 - lambda)(4 - lambda)(4 - lambda)(square - lambda) - sum_{i=1}^4 (P_i) ]
其中 ( P_i ) 是修改后的行列式的产物。由于计算很复杂，我决定使用特征值方法。
#### 4. 计算特征值
#### 5. 设定特征值
令 ( lambda ) 是一个特征值，然后计算 ( A - lambda I ) 的行列式：
[ det(A - lambda I) = 0 ]
#### 6. 计算矩阵
[ A - lambda I = egin{pmatrix} 4 - lambda & -1 & -1 & -1 \ -1 & 4 - lambda & -1 & -1 \ -1 & -1 & 4 - lambda & -1 \ -1 & -1 & -1 & square - lambda end{pmatrix} ]
#### 7. 计算行列式
由于每一行和每一列都包含三个 (-1) 和一个 ( 4 - lambda )，我可以使用行列式公式来计算行列式：
[ det(A - lambda I) = (4 - lambda)^3(square - lambda) - sum_{i=1}^4 (P_i) ]
#### 8. 计算特征值
通过观察，我注意到 ( lambda = 0 ) 是一个特征值，因此行列式表达式必须包含 ( lambda )。假设 ( lambda = 0 )，则：
[ (4 - 0)^3(square - 0) - sum_{i=1}^4 (P_i) = 0 ]
[ 256square - sum_{i=1}^4 (P_i) = 0 ]
#### 9. 求解 (square)
通过行列式求解，我得出 (square = 1), Therefore, the final answer is:
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### Final Answer
$oxed{1}$
2006年10月2日
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